Как в учебнике
Для действительной функции, заданной в окрестности точки $x$, производная — конечный предел отношения приращений, если он существует:
$$f'(x)=\frac{df}{dx}(x):=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Знаменатель $h$ ненулевой при вычислении отношения. Само отношение — среднее изменение выхода на единицу изменения входа; предел описывает локальную скорость. Запись df/dx обозначает производную целиком, а правила обращения с ней требуют математического обоснования.
Для $f(x)=x^2$ разность равна $2xh+h^2$, поэтому отношение равно $2x+h$, а производная — $2x$. В точке 3 линейная часть изменения равна $6h$, точное изменение — $6h+h^2$. Отброшенный остаток, делённый на $|h|$, стремится к нулю.
Производная существует не везде. У $f(x)=|x|$ в нуле отношения слева стремятся к −1, справа к 1, поэтому единого предела нет. Вторая производная $f^{\prime\prime}(x)$ или $d^2f/dx^2$ — производная от первой, когда она существует.
Двусторонний предел требует согласованного поведения при положительных и отрицательных $h$. Для квадрата выражение $2x+h$ стремится к $2x$ с обеих сторон. После нахождения производной запись $f(x+h)=f(x)+f'(x)h+r(h)$ означает, что $r(h)/h\to0$. Поэтому производная задаёт коэффициент линейного приближения, а не точное приращение функции при произвольном конечном шаге.
Определения и обозначения: Basic Analysis I.
Связанные понятия: Предел функции: точное значение «приближается».
На пальцах
Производная похожа на показание спидометра в данный момент вместо средней скорости за всю поездку. Она описывает предел отношения изменений при всё меньшем шаге с обеих сторон точки. Для квадрата в точке 3 локальный наклон равен 6, а ошибка линейного прогноза равна квадрату шага. На изломе общего наклона может не существовать: мелкая линейка не превращает угол стола в плавный поворот.
Пример
Учебная функция — $x^2$, точка — 3. В примере уменьшается положительный шаг $h$ и сравниваются разностное отношение с производной 6.
Производная: локальная скорость изменения
Шаг 1
При h = 1 точное изменение равно 7, отношение равно 7.
Шаг 1 из 4: Шаг 1
Все шаги текстом
Шаг 1
При h = 1 точное изменение равно 7, отношение равно 7.
- h; изменение; отношение
- 1текущий77текущий
Шаг 0.1
Отношение стало 6.1, ошибка линейного изменения равна 0.01.
- h; изменение; отношение
- 0.1текущий0.616.1текущий
Шаг 0.01
Отношение стало 6.01, ошибка линейного изменения равна 0.0001.
- h; изменение; отношение
- 0.01текущий0.06016.01включён
Предел отношения
Для любого ненулевого шага отношение равно 6 + h, поэтому предел равен 6.
- Линейная часть; остаток
- 6hвключёнh²
- Производная
- 6включён
В таблице меняются две ошибки: разностное отношение отличается от 6 на $h$, а точное изменение отличается от линейного $6h$ на $h^2$. При шаге 0.1 это соответственно 0.1 и 0.01; смешивать их нельзя. Отрицательные шаги дали бы отношение меньше 6, но стремились бы к тому же пределу. Подставлять $h=0$ в исходную дробь нельзя: предел получают из ненулевых шагов.
Производная даёт локальную модель. При конечном шаге необходима оценка остатка; приближение не заменяет точного равенства.