Как в учебнике
Пусть $f:\mathbb R^d\to\mathbb R$ задана в открытой окрестности точки $x$. Частная производная по координате $x_i$ определяется пределом $\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+he_i)-f(x)}{h}$, если он существует и конечен. Здесь $e_i$ — вектор с единицей на месте $i$ и нулями на остальных местах.
В этом пределе изменяется только одна координата. Остальные остаются фиксированными на значениях рассматриваемой точки. Поэтому частная производная является обычной производной одномерного сечения функции.
Для $f(x_1,x_2)=x_1^2+3x_2^2$ верны равенства $\partial f/\partial x_1=2x_1$ и $\partial f/\partial x_2=6x_2$. В точке $(1,2)$ они равны 2 и 12. При вычислении первой $x_2$ фиксирован, поэтому слагаемое $3x_2^2$ сокращается в разности.
Существования всех частных производных в точке недостаточно для общей линейной аппроксимации при одновременном изменении координат. Непрерывность частных производных в окрестности — удобное достаточное условие дифференцируемости. Символ $\partial$ напоминает о выбранной координате, но сам этих условий не гарантирует.
В учебной функции разностное отношение по первой координате в точке $(1,2)$ равно $2+h$, а по второй — $12+3h$ при $h\ne0$. При стремлении $h$ к нулю добавочные слагаемые исчезают. Конечное отношение и предельная производная различаются: первое описывает среднее изменение на выбранном отрезке сечения, второе — локальный коэффициент в исходной точке.
Определения и обозначения: Basic Analysis I; Mathematics for Machine Learning.
Связанные понятия: Производная: локальная скорость изменения.
На пальцах
Частная производная похожа на проверку одного регулятора при неизменных положениях остальных. Одновременное движение двух ручек смешивает их влияния, а смена исходной точки превращает проверку в другой опыт. Для учебной функции в точке $(1,2)$ значения 2 и 12 относятся именно к этой точке и выбранным единицам координат. Вечную табличку «главный регулятор» вешать рано: результат описывает локальный отклик на изменение одной координаты.
Пример
В учебной функции $x_1^2+3x_2^2$ исходная точка — $(1,2)$ и отдельно изменяется каждая координата на 0.1.
Частная производная: изменение одной координаты
Исходная точка
Исходное значение равно 1 + 12 = 13.
Шаг 1 из 4: Исходная точка
Все шаги текстом
Исходная точка
Исходное значение равно 1 + 12 = 13.
- Координаты
- 12
- Функция
- 13текущий
Изменение первой
Вторая координата остаётся 2. Значение становится 13.21.
- Координаты
- 1.1текущий2
- Разностное отношение
- 2.1текущий
Изменение второй
Первая координата снова равна 1, вторая меняется на 2.1.
- Координаты
- 12.1текущий
- Функция; отношение
- 14.23текущий12.3текущий
Уменьшение шага
При h = 0.01 отношения ближе к соответствующим частным производным.
- Первая; вторая координата
- 2.01включён12.03включён
- Пределы
- 2включён12включён
При $h=0.1$ получаются отношения 2.1 и 12.3, а при $h=0.01$ — 2.01 и 12.03. Разница с производными уменьшается в десять раз вместе с шагом, что видно из точных формул выше. Второй опыт снова начинается из $(1,2)$, а не из $(1.1,2)$. Поэтому сравниваются два сечения в одной точке; смешивать шаги в одну траекторию означало бы изменить поставленный вопрос.
Запись частной производной требует указать изменяемую координату и все фиксированные.