Среднее арифметическое наблюдений

Как в учебнике

Для $n\ge1$ числовых наблюдений $x_1,\ldots,x_n$ среднее арифметическое определяется как $\bar x=\frac1n\sum_{i=1}^{n}x_i$. Все наблюдения имеют одинаковый вес $1/n$; повторяющиеся значения учитываются столько раз, сколько встретились.

Черта над $x$ обозначает среднее именно этих данных. У 2, 4, 6 оно равно 4, а у 2, 2, 4 — $8/3$. Второе вхождение двойки — отдельное наблюдение, поэтому удалять его как «дубликат множества» нельзя.

Ожидание $\mathbb E[X]$ описывает заданное распределение, а $\bar x$ — полученную выборку. Если исходное распределение равновероятно даёт 2, 4, 6, его ожидание равно 4; выборка 2, 2, 4 не меняет это ожидание, хотя её среднее другое.

Среднее также является ожиданием эмпирического распределения, которое назначает каждому наблюдению вес $1/n$. Это полезное соответствие, но эмпирическое распределение нельзя молча подменять неизвестным распределением источника данных.

Среднее лежит между наименьшим и наибольшим наблюдениями. Если каждое $x_i\ge m$, то их сумма не меньше $nm$, поэтому $\bar x\ge m$; верхняя граница доказывается так же. Равносильное условие $\sum_i(x_i-\bar x)=0$ показывает баланс отклонений: положительные и отрицательные вклады относительно среднего взаимно сокращаются. Прибавление одного числа ко всем наблюдениям сдвигает среднее на это же число.

Определения и обозначения: Mathematics for Machine Learning.

Связанные понятия: Математическое ожидание: среднее распределения.