Как в учебнике
Если функция $f:A\to B$ задаёт взаимно однозначное соответствие, существует обратная функция $f^{-1}:B\to A$. Она удовлетворяет $f^{-1}(f(x))=x$ и $f(f^{-1}(y))=y$ для всех допустимых $x$ и $y$. Каждый выход должен достигаться и иметь единственный исходный вход.
Для $f(x)=2x$ на $\mathbb R$ обратная функция равна $f^{-1}(y)=y/2$. Она не равна $1/f$: верхняя запись −1 здесь обозначает обращение функции, а не числовую степень её значения. Квадрат на всей действительной прямой необратим: выход 4 не позволяет выбрать между 2 и −2. Ограничение области на $[0,+\infty)$ устраняет эту неоднозначность.
Область и множество назначения входят в условие обратимости вместе с правилом вычисления. Ограничить квадрат неотрицательными входами недостаточно для биекции в $\mathbb R$: отрицательные выходы всё ещё недостижимы. Согласованная обратимая запись имеет вид $f:[0,+\infty)\to[0,+\infty)$, $f(x)=x^2$. Две композиции в определении проверяют отсутствие потерь со стороны входов и полноту восстановления со стороны выходов.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Обратная функция отменяет исходное действие без потери информации, как деление на два отменяет удвоение. Для каждого допустимого выхода должен существовать ровно один исходный адрес. Слияние двух входов лишает восстановление однозначности, а неиспользуемому выходу возвращать нечего. Маленький минус в $f^{-1}$ не работает кнопкой «отменить» после потери данных.
Пример
В примере учебный вход 3 сначала удваивается, затем восстанавливается. Последний шаг сравнит обращение функции с обратным числом: это разные результаты.
Обратная функция: восстановить вход по выходу
Прямая функция
Удвоение переводит 3 в 6.
Шаг 1 из 3: Прямая функция
Все шаги текстом
Прямая функция
Удвоение переводит 3 в 6.
- Состояние
- 3текущий6текущий
Обратная функция
Половина выхода 6 восстанавливает вход 3.
- Состояние
- 6текущий3текущий
Не обратное число
Обратное значение f(6) равно 1/12, а не 3.
- Состояние
- f⁻¹(6): 3текущий1/f(6): 1/12текущий
На конкретных данных два порядка действий дают: $f^{-1}(f(3))=f^{-1}(6)=3$ и $f(f^{-1}(6))=f(3)=6$. Первый возвращает исходный вход, второй — исходный выход. Для сравнения с числовой обратной величиной сначала вычисляют $f(6)=12$, затем $1/12$. Слова «обратное» здесь одинаковы, но входы, операции и результаты различаются; выписанные скобки не дают незаметно подменить один вопрос другим.
Дальше: Прообраз.