Как в учебнике
Для функции $f:A\to B$ и множества $S\subseteq B$ прообраз определяют как $f^{-1}(S):=\{x\in A\mid f(x)\in S\}$. Это множество всех входов, чьи выходы принадлежат $S$.
Прообраз существует без обратимости функции. Для $f(x)=x^2$ на действительных числах $f^{-1}(\{4\})=\{-2,2\}$. Здесь обозначение $f^{-1}$ принимает множество и возвращает множество; обратная функция, когда существует, восстанавливает единственный вход по выходу. Прообраз недостижимого множества пуст: $f^{-1}(\{-1\})=\varnothing$ для той же функции.
Область $A$ ограничивает поиск: одинаковая формула на разных областях может давать разные прообразы. При ограничении квадрата неотрицательными входами прообраз $\{4\}$ содержит только 2. Принадлежность прообразу проверяется в два этапа: вход должен принадлежать $A$, а его значение — целевому множеству $S$. Элементы $S$, которые функция не достигает, новых входов не создают.
Определения и дальнейшее чтение: Mathematics for Computer Science.
На пальцах
Прообраз похож на отбор всех писем с доставкой в выбранные города. Набор городов задаёт условие на выходе, а результат содержит исходные письма. Несколько писем в один город остаются в ответе: почта не проводит конкурс на единственного победителя. Если подходящих писем нет, прообраз пуст; существование обратной функции такому поиску не нужно.
Пример
Для учебного $f(x)=x^2$ и $S=\{4\}$ в примере проверяются −2, 0 и 2. Эти точки показывают механизм отбора; все действительные решения уравнения $x^2=4$ — именно −2 и 2.
Прообраз: какие входы попадают в нужный набор
Вход −2
Выход равен 4, поэтому вход остаётся.
Шаг 1 из 3: Вход −2
Все шаги текстом
Вход −2
Выход равен 4, поэтому вход остаётся.
- Состояние
- −2 → 4включён02
Вход 0
Выход 0 не принадлежит целевому множеству.
- Состояние
- −2 → 4включён0 → 0исключён2
Вход 2
Положительный вход тоже подходит; прообраз содержит оба.
- Состояние
- −2 → 4включён0 → 0исключён2 → 4включён
В демонстрации проверяются три кандидата, но полнота ответа следует из уравнения. Из $x^2=4$ следует $(x-2)(x+2)=0$, поэтому других действительных решений нет. Если заменить целевое множество на $\{0,4\}$, к ответу добавится 0. Меняется условие на выходе, а в итоговом множестве по-прежнему записываются входы. Записать там только 4 означало бы перепутать цель поиска с найденным результатом.
Дальше: Обратная функция, Задание множества условием.