Как в учебнике
Пусть $a,b\in\mathbb R^d$ — векторы критериев. Здесь каждый критерий максимизируется: больше значит лучше. Покомпонентное отношение $a\succeq b$ определяется условием $a_i\ge b_i$ для всех $i\in\{1,\ldots,d\}$.
Доминирование $a\succ b$ требует $a\succeq b$ и хотя бы одного индекса $j$ с $a_j>b_j$. Обозначение строгого улучшения по всем критериям: $a\succ\succ b$ означает $a_i>b_i$ для каждого $i$. Равенство всех координат не даёт доминирования в первом смысле.
Векторы $(5,3)$ и $(3,4)$ несравнимы: первый выигрывает по одной координате и проигрывает по другой. Усреднение или взвешенная сумма вводит дополнительное правило предпочтения, которого в отношении доминирования нет.
При минимизации знаки неравенств меняются. У разных авторов символы также различаются: одинарный знак может означать строгое улучшение во всех координатах, а между матрицами иметь иной смысл. В таблице I у Zitzler и соавторов используется $\succ\succ$ для строгого доминирования при минимизации; здесь явно выбрана максимизация.
Доминирование транзитивно: если $a$ доминирует $b$, а $b$ доминирует $c$, то $a$ не хуже $c$ по каждой координате. Строгое улучшение хотя бы одной координаты в первой паре сохраняется и относительно $c$. Однако несравнимость не равна равенству и не передаётся таким же правилом. Само отношение не обязано упорядочить любую пару вариантов.
Определения и обозначения: Performance Assessment of Multiobjective Optimizers: An Analysis and Review.
Связанные понятия: Координатный вектор: порядок и размерность.
На пальцах
Ноутбуки можно сравнить по автономности и памяти, считая большее лучшим для обоих показателей. Если один не уступает ни по одному и выигрывает хотя бы по одному, у второго нет встречного преимущества в этой паре критериев. Выигрыш в памяти ценой меньшей автономности оставляет варианты несравнимыми: Парето не собирает тайное жюри из двух чисел. Направление каждого показателя задаётся отдельно, ведь меньший вес обычно лучше. Тяжёлая батарея не получает награду только за внушительную цифру в килограммах.
Пример
В учебной сцене координаты — два абстрактных критерия максимизации. Каждый вариант сопоставляется с базовым $(3,4)$.
Доминирование по Парето: сравнение нескольких критериев
Базовый вариант
Совпадающие координаты дают «не хуже», но строгого улучшения нет.
Шаг 1 из 4: Базовый вариант
Все шаги текстом
Базовый вариант
Совпадающие координаты дают «не хуже», но строгого улучшения нет.
- База
- 34
- Кандидат
- 34
Один критерий лучше
Первая координата лучше, вторая равна: есть доминирование.
- База
- 34
- Кандидат
- 5включён4
Оба критерия лучше
Улучшение строгое в каждой координате.
- База
- 34
- Кандидат
- 5включён7включён
Компромисс
Первый критерий лучше, второй хуже. Доминирования ни в одну сторону нет.
- База
- 34
- Кандидат
- 5включён3исключён
С базой $(3,4)$ вариант $(5,4)$ проходит две проверки «не хуже» и одну проверку «строго лучше». Вариант $(5,7)$ улучшает обе координаты, но это более сильное условие, чем требуется обычному доминированию. Для $(5,3)$ достаточно второй координаты, чтобы опровергнуть его доминирование над базой; первая координата одновременно опровергает доминирование базы над ним. Так несравнимость доказывается двумя конкретными препятствиями, а не отсутствием желания выбрать победителя.
Сравнение определяется направлением критериев и значением знаков. Без этого «лучше» остаётся незаполненным полем.