Интеграл Римана: накопление вкладов со знаком

Как в учебнике

Пусть $f$ непрерывна на конечном отрезке $[a,b]$, где $a<b$. Разбиение задано точками $a=t_0<\cdots<t_n=b$, ширины обозначены $\Delta t_i=t_i-t_{i-1}$, а выбранные точки удовлетворяют условию $\xi_i\in[t_{i-1},t_i]$. Интеграл Римана — предел взвешенных сумм при стремлении наибольшей ширины участка к нулю:

$$\int_a^b f(t)\,dt=\lim_{\max_i\Delta t_i\to0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta t_i.$$

Предел должен быть одинаковым для любых таких разбиений и выбранных точек. Непрерывность гарантирует его существование. Сумма состоит из высот, умноженных на ширины, поэтому интеграл представляет накопленный вклад по непрерывному промежутку.

Если $f(t)=2$ на $[0,3]$, интеграл равен 6. Отрицательные значения дают отрицательный вклад: $\int_{-1}^{1}t\,dt=0$, хотя геометрическая площадь между графиком и осью положительна. Интерпретация площади требует учёта знака.

Символ $dt$ указывает переменную интегрирования. Для интегрируемой вероятностной плотности $p_X$ вероятность интервала равна $\int_a^b p_X(t)\,dt$, а вероятность отдельной точки равна нулю. Бесконечные границы, неограниченные функции и более общие виды интеграла требуют отдельных определений и проверки условий.

Множитель $\Delta t_i$ необходим: простая сумма высот росла бы вместе с числом участков даже для постоянной функции. Уточнение разбиения уменьшает ширины, одновременно увеличивая число слагаемых. Условие на наибольшую ширину не позволяет оставить один крупный участок и измельчать только остальные. Для непрерывной функции на конечном отрезке колебания значений на каждом достаточно коротком участке малы; поэтому разные допустимые выборы высот перестают существенно влиять на сумму.

Определения и обозначения: Basic Analysis I.

Связанные понятия: Предел функции: точное значение «приближается», Конечная сумма: что перебирает большая сигма.