Как в учебнике
Случайная величина $X:\Omega\to\mathbb R$ — функция, сопоставляющая числовое значение каждому исходу вероятностного эксперимента. В конечной модели любое такое правило допустимо. Буква $X$ обозначает правило до наблюдения; строчная $x$ может обозначать его реализованное значение.
Вероятность значения складывается из весов всех исходов, которые это значение получают: $P(X=x)=\sum_{\omega:\,X(\omega)=x}p_\omega$. Поэтому разные исходы могут вносить вклад в одну и ту же вероятность. Распределение описывает вероятности значений величины.
Запись $X\sim D$ означает, что $X$ имеет распределение $D$. Знак $\sim$ здесь не является приближённым равенством или асимптотической эквивалентностью. Для честной монеты правило «орлу 1, решке 0» даёт $P(X=1)=P(X=0)=1/2$.
Для общих вероятностных пространств к функции добавляется требование измеримости: события о попадании её значения в допустимые множества должны иметь определённые вероятности. Для данного конечного примера это требование выполняется автоматически.
Для события $X\in S$ рассматриваются все исходы, чьи числовые образы попали в $S$. В конечной модели их вероятности складываются без повторного счёта: каждому исходу функция назначает ровно одно значение. Поэтому вероятности всех различных значений $X$ в сумме дают 1. Число возможных значений может быть меньше числа исходов. По одному наблюдённому значению тогда нельзя однозначно восстановить исход, хотя прямое отображение полностью определено.
Определения и обозначения: Mathematics for Computer Science; Mathematics for Machine Learning.
Связанные понятия: Вероятность события в конечной модели.
На пальцах
Правило записи может назначать граням кубика 1 за чётность и 0 за нечётность. Бросок случаен, а правило фиксировано и не сочиняет ответ по настроению. Три разные грани дают одну единицу, поэтому вероятности исходов объединяются в распределение записанного числа. Такой переводчик способен потерять подробности: единица сообщает о чётной грани, но не восстанавливает её номер и не добавляет новой случайности.
Пример
Учебная величина $X$ равна 1 на чётных гранях честного кубика и 0 на остальных. Пример показывает отображение и распределение.
Случайная величина: число для каждого исхода
Исходы
До применения правила исходами служат шесть равновероятных граней.
Шаг 1 из 4: Исходы
Все шаги текстом
Исходы
До применения правила исходами служат шесть равновероятных граней.
- Грани
- 123456
Применение правила
Каждой грани соответствует одно числовое значение.
- Грани
- 123456
- Значения X
- 01текущий01текущий01текущий
Прообраз значения
Значению 1 соответствуют грани 2, 4, 6.
- Грани для X = 1
- 2включён4включён6включён
Распределение
У двух возможных значений одинаковая вероятность.
- Значения
- 01
- Вероятности
- 1/2включён1/2включён
На шаге сбора прообраза единица получает три вклада по $1/6$, а не один вклад за то, что в таблице значений она записана один раз. Аналогично ноль собирает грани 1, 3 и 5. Две итоговые вероятности складываются в единицу — это проверка, что ни один исход не потерян. Если грани были бы неравновероятны, пришлось бы складывать их веса; считать грани вместо вероятностей допустимо именно благодаря условию честного кубика.
Исход, функция от исхода и наблюдённое число играют три разные роли в одной модели.